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数独背后的四个数学问题(组图)


  相对于最小初盘问题,最大初盘问题容易解决得多。采用倒推法,在初始数字为80的情况下无需说明,缺啥补啥即可;在初始数字为79的初盘中也大约如此,因为考虑到必须满足每一个小九宫格内每个数字出现且仅出现一次,这意味着所缺少的数字都必须出现在同一个九宫格内,考虑到这个情况,还可以依次推出78的初盘也有惟一解。但当初盘中给定数字变为77的时候,该数独游戏便会出现至少两解。

  1 欧拉与拉丁方


  让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫,横向、纵向、对角线数字的和都是34,在最下面一行的中间两格,画家自娱地留下了创作年代1514.
  很难解释为何在此后的十多年里,数独游戏一直只在日本国内流行。但可以肯定的是,将数独游戏重新发现并推广到国际市场的,是一名香港高等法院退休法官、新西兰人高乐德。他在1997年一次日本旅行中,在书店内发现数独游戏,立刻被其吸引住。此后高乐德花了六年时间开发数独出题程序,并向英国《泰晤士报》等报社出售其编写的数独题目。英国市场反应极佳,数独开始风行全球,而高乐德本人也因此获得巨额收入。
  Nikoli是所有数独爱好者需要感谢的第一个名字。
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  很容易发现,数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是,数独加上了两个额外的条件:一、在每个小九宫格的区域内,每个数字同样出现且只出现一次;二、给出的初始数字必须对称。


  Felgenhauer的算式为9!×722×27×27,704,267,971,最后的数字是一个大质数。虽然这个天文数字已经足够惊人,bt网页游戏sf,但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方,数独终盘的可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%!
  4 最大初盘问题

  随着Sudoku游戏在日本国内大受欢迎,Nikoli公司在1986年对其进行了两项改良:其一是题目中给出的初始数字限定在32个以内,其二是给出数字的分布采用对称形式。这就是今天我们看到的数独游戏的面貌。


  与终盘相对应,一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限,给出的初盘数字个数必须在32以下。

  “数独”可以被定义为一种逻辑智力拼图游戏,也可以被称为“数字游戏”。顾名思义,“数独”可以理解为一组独立的数字,将这组数字以一定的规则组合在一定区域内,便是数独游戏的主要内容。




  数字游戏
  数独(Sudoku),一种起源于日本、流行于欧美的数字游戏,虽然进入中国内地的时间不久,但已经占据了很多媒体的游戏版面,吸引越来越多的玩家投身数字的迷宫。不过数独爱好者们可能不知道,这个小游戏的雏形,却是一个让数学家伤透脑筋的问题。即使在今天,还有众多研究人员为弄清楚数独背后的规律而绞尽脑汁。

数独背后的四个数学问题(组图)

  数独游戏在1979年前后已经在美国Dell杂志上刊登,但在众多填字游戏中并未引起特别注意。直到1984年,日本的填字游戏出版商Nikoli公司的煅治真起从美国发现了这个游戏,决定引入日本并将其命名为Sudoku,意思是“每个数字只能出现一次”。

  具体地说,拼图是大九宫格(即3格宽×3格高)的正方形状,由9个小九宫格组成。游戏的目标是在每一个小九宫格中,不重复地填上1至9的数字,让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。一般而言,一条数独题会给出1/3左右的数字作为初始条件,剩下的2/3空白处由读者完成。
  经过两年的迅速发展,数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域:数以千计的报纸提供数独游戏,数十种数独刊物,全球各地分别成立了数独爱好者团体,电视上已经出现了数独节目,而第一届数独世界锦标赛也在今年的3月举行,捷克一名女会计师夺冠。

  与最小初盘问题相反,人们还可以提出最大初盘问题。

  另一个方面,考虑到数独游戏的初始数字对称要求,以上结果可能有相当程度的重复,亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此,英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了更准确的不同终盘数:5,472,730,538.这样一来,有志于破解所有数独题目的玩家又看到了希望的曙光,担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑:毕竟这个数目和地球人口一样多。
  统计学家根据一个统计学原理曾随机地构造了大量17个数字的初盘,发现其中有惟一解的初盘只有数个未被GordonRoyle教授发现,这意味着,最小惟一解初盘问题的最终答案可能正是17:因为从理论上说,如果16个数字的惟一解终盘存在,那么每一个必将引起65个17个数字惟一解终盘的增加,而在研究中至今没有观察到这一效应。

  也就是说:在一个数独初盘中,最多能给出多少个数字,使得再增加一个数字该问题便只有惟一解。
  传播史





  2 终盘的可能性

  也许正是因为规则简单,所以数独才能迅速风靡世界。既然玩数独游戏无需数学运算或证明,似乎完全可以将其称为“数字游戏”。
  事实上,这个问题是数独中最有数学趣味的问题之一,并且至今仍未得到解决。但数学家们估计,这个数字很可能是17.17个数字的最小惟一解初盘是由一名日本数独爱好者发现的。澳大利亚数学家GordonRoyle已经收集了36628个17个数字的惟一解初盘,而爱尔兰数学家GaryMcGuire则致力于寻找16个数字的惟一解初盘,但至今仍无发现。部分数学家开始退而求其次,转而寻找只有两个解的16个数字初盘。


  本版撰文/实习生张力
  一般常见的初盘数字个数在22—28之间,而数独爱好者们常问的一个问题是:最少给出多少个数字,数独游戏才确保有惟一解?具体地说:最少需要在初盘中给出多少个数字,使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。

  即使是天使也会为数学问题苦思冥想。德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》(Melencolia)描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使。

数独背后的四个数学问题(组图)

  数独背后的四个数学问题 · 2006-7-31 9:14:01 · 来源:新京报


  通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后,人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此,德国数学家BertramFelgenhauer在2005年给出了答案:数独的最大可能终盘数为6,670,903,752,021,072,936,960种。
  3 最小初盘问题

  作为数学史上最传奇、最多产的大师之一,瑞士数学家欧拉(LeonardEuler,1707—1783)在18世纪研究了一种有趣的数字方阵:考虑一个阶数(亦即行数和列数)为n的方阵,在小格里填入n种符号或数字,在每一行/列中,每一个符号出现且仅出现一次。 这种方阵源自中世纪的格盘游戏,其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母,欧拉将这样的方阵命名为拉丁方(LatinSquare)。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。

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