分析2 如图2,正三角形的面积最大的充要条件为边长最大. 若△EFG为正方形ABCD的内接正三角形,设AE=x,DG＝y,由勾股定理得EG2=(y-x)2+BC2.x≥0,y≥0，由题意知，当x、y其中一个最小,另一个最大时,EG最大.不妨设x最小为0时,顶点E与正方形顶点A重合,又AM=AN,根据对称性,必有△ADM≌△ABN. 所以∠DAM＝∠BAN＝15°,此时,y=DM为最大值,则△AMN为所求的最大正三角形.现在,关键是在正方形内作∠DAM=15°.于是得：
1作法探讨
问题 如图1,已知正方形ABCD.求作：等边△EFG,使G、F、E分别在正方形ABCD边AB、BC、CD上．
(1) 以CD长在正方形ABCD外,作等边△PCD．
分析1 假设△EFG为正方形的一内接正三角形,不妨设其中的两点G、E在正方形一组对边AB、CD上,点F在BC上(图1)．
作△EFG边EG上的高PF,则G、B、F、P四点共圆.连结BP,则∠FBP＝∠FGP＝60°,同理,∠FCP＝∠FEP＝60°.所以△PBC是正三角形,因正△PBC是一定的,所以点P是一个定点.而且定点P是GE的中点.经过A(或D)、P的边最长,得最大正三角形,于是得：
(2) 过点P作EG,交AB边于G,交对边CD于E．
(参考数据:3≈1.732,sin 15°=6-24≈0.259,sin 75°=6+24≈0.966.)
由于正三角形的面积由边长决定,边长最小时,面积就最小；边长最大,面积就最大．
所以∠BAF=∠DAE=15°,所以∠EAF=60°,所以△AEF是等边三角形.根据计算知,△AEF为最大内接等边三角形．
(3) 以A为圆心,AE长为半径画弧,交BC于F．
分析 我们只要能将边AB以及BC向内折出15°即可．
请用一张正方形的纸张折出一个最大的内接正三角形(三角形的顶点在正方形的边上).说明你的折法并证明这个折法所折的正三角形是最大的.
关键是作出等边三角形的一边．
作法1 如图1,(1) 在正方形ABCD内作正△PBC．
(2) 当α为何值时,点G落在对角线AC上？请说出你的理由,并求出此时x、y的值(结果保留根号)；
第四步：沿GH折叠,折痕为GH．
第二步：再把点A翻折到MN上,折痕为BE,A的对应点为F．
4 实践操作
我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.关于正方形的内接正三角形相关的作图、操作、计算等问题,与学习内容密切相连,学生很感兴趣.下面就是引导学生进行探究性学习的结果．
2 存在性及个数讨论
如图6,正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1,点E、F分别在线段AB、AD上滑动,设点G到CD的距离为x,到BC的距离为y,记∠HEF为α(当点E、F分别与B、A重合时,记α=0°)．
设正方形边长为1,由作图分析知,当EG∥AD时,边长最小,面积最小,最小值为S=34．
如果等边△PCD在正方形ABCD内时,类似作法2可得结果．
作者简介：李发勇，网页游戏私服发布网，男，1964年生，四川巴州区人.中学高级教师，巴州区学校数学首席教师，主要研究中学数学课堂教学及教材编写，在省级以上刊物发表论文30多篇.另有多篇获奖和转载.
证明 设折痕MN与BE交于O,由折纸过程知,O为Rt△BEF斜边BE的中点,则∠OBF=∠OFB=∠FBC=30°,所以∠ABG=15°,同理,∠CBH=15°. △ABG≌△CBH,所以BG=BH,又∠GBC=60°,△GBH为等边三角形,而且为最大内接等边三角形．
折纸问题不单是动手问题,更重要的是对所学知识的运用和实践,加深理解,提高数学能力．
3 最大、最小面积探究
第三步：分别将AB翻折到BE上,折痕为BG；同理,得折痕BH．
则△BGH为所折出的等边三角形．
(4) 连结AF、EF. △AEF即为所求．
中国论文网
(3) 过点P作PF⊥GE交BC于F,连结GF、EF,则△EFG即为所求．
(1)当α=0°,如图7所示,求x、y的值(结果保留根号)；
(4)若将“点E、F分别在线段AB、AD上滑动”改为“点E、F在正方形ABCD边上滑动”.当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图9中描出部分点后,勾画出点G运动所形成的大致图象.(2008年江苏中考题)
(3)请你补充完成下表(精确到001)
开发课题学习素材,有助于提高学生的实践能力和创新意识,培养应用能力.
证明 由作图知∠ADP=90°＋60°=150°,又AD=PD,所以∠DAE=180°-150°2=15°,则∠BAF=15°. 又AD=AB,易证Rt△ADE≌Rt△ABF,
当EG通过点A时,边长最大,此时,∠DAE=∠BAF=15°,内接正三角形AEF的面积最大(如图4).过P作MN⊥BC于N,交AD于M,则PN=BP2-BN2=12-122=32,所以 PM=1-32,又PM是中位线,所以DE=2PM=2-3,AE2=AD2+DE2=12+(2-3)2=8-43,所以最大面积S=23－3.内接正三角形的边长取值范围是1≤a≤6-2)．
证明：由作图知,△PBC是正方形ABCD内正三角形,易证G、B、F、P四点共圆,则∠EGF=60°.同理∠GEF=60°所以△EFG是等边三角形,根据图形性质,△EFG是最大内接等边三角形．
第一步：将正方形ABCD对折,折痕为MN．
根据作图分析知,正方形内接正三角形有无数个,其中经过每顶点有且只有一个最大内接正三角形,与正方形的一边平行时,最小．
